專利名稱：擬正二測直觀圖模板及其構(gòu)圖方法和模板的使用的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及一種擬正二測直觀圖的畫法及其模板，特別是公開一種擬正二測直觀圖模板及其構(gòu)圖方法和模板的使用，是一種學(xué)校文教用品，用于繪制直觀圖的工具模板。
背景技術(shù)：
幾十年來，在中學(xué)教學(xué)中流行較廣的一個錯誤，即認(rèn)為斜二測直觀圖畫法是平行投影畫法。本案發(fā)明人已經(jīng)在《數(shù)學(xué)通報》上發(fā)表過《斜二測直 觀圖不是平行投影空間圖形的證明》。現(xiàn)在使用的斜二測坐標(biāo)系是經(jīng)過調(diào)整的，調(diào)整的實質(zhì)是將X軸逆時針旋轉(zhuǎn)了約3.59°，將y軸逆時針旋轉(zhuǎn)了約7.18°，這種旋轉(zhuǎn)，使得球的左下部位過分下垂，球的右上部位超量聳起。所以“斜二測畫法”的適用范圍應(yīng)當(dāng)加以限制它僅適用于簡單的多面體，而不適用于旋轉(zhuǎn)體?，F(xiàn)在已無法考證是誰第一個把調(diào)整之后斜二測畫法稱之為平行投影畫法，但在整個中學(xué)教育界以及機(jī)械制圖界一直是這樣認(rèn)為的。例如
1、現(xiàn)行的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，數(shù)學(xué)，人教A版，必修2(2007年2月第3版)，P16，第9行“斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法”;P18，倒數(shù)第7行“從投影的角度看，三視圖和用斜二測畫法畫出的直觀圖都是在平行投影下畫出來的空間圖形”；
2、[北師大版]高中數(shù)學(xué)必修2教材，P9，倒數(shù)第I行“用斜二測畫法畫的直觀圖是根據(jù)平行投影的原理畫出的圖形”。人教A版教材及北師大版教材都是目前全國最有影響力的教材。于是人們一直認(rèn)為斜二測畫法是放置于四海而皆準(zhǔn)的真理、一種普遍適用的法則。人們一直在Ο-xyz空間直角坐標(biāo)系中試圖畫一切空間圖形的直觀圖，哪怕在畫圓柱、圓錐時不直觀也堅信不移，在無法畫球時也視而不見，目前在教材中對斜二測畫球普遍采用回避態(tài)度?，F(xiàn)行教科書上對簡單多面體、圓柱、圓錐、球采用了多種不同的畫直觀圖的方法，當(dāng)在同一幅圖中涉及了多種幾何體時，畫法規(guī)則便出現(xiàn)了混亂，于是便出現(xiàn)了各種一點不直觀的直觀圖。應(yīng)當(dāng)知道，畫直觀圖的目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，它首先要“直觀”。而目前不分場合地使用斜二測畫法，猶如不分適應(yīng)癥范圍地使用同一張醫(yī)藥處方。有些老師為了避免旋轉(zhuǎn)體的不直觀，改用正等軸測畫圓柱、圓錐，又另外想了一個方法專門畫球。由于這個認(rèn)識上的錯誤，導(dǎo)致相關(guān)幾何體(多面體、圓錐、圓柱、球)直觀圖畫法上的混亂，致使在一個圖形中同時存在多種幾何體，例如球和它的內(nèi)接多面體時，在畫法上無所適從，采取回避者有之，胡亂畫畫忽悠學(xué)生者有之(這種忽悠實際上是一種無奈)。這種情況，在人教A版必修2，北師大版必修2的相關(guān)章節(jié)隨處可見。這對培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力不能不說是一個極大的遺憾，這個問題不解決，這種遺憾將無休止地延續(xù)下去。比較各種常見畫法畫出的平行投影直觀圖(見附圖1)，可以看出，目前流行的“斜二測畫法”雖然實際上不屬于平行投影，但用這種方法畫出的簡單多面體直觀性非常好，但是用這種方法畫出的球的直觀圖卻很難令人茍同，因為它離球形“直觀”實在相距太遠(yuǎn)。
發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明的目的就是解決現(xiàn)有技術(shù)中“斜二測畫法”的缺陷，公開一種擬正二測直觀圖的構(gòu)圖方法，并設(shè)計相應(yīng)的模板，兼容簡單多面體，還能繪制真正的球的直觀圖。本發(fā)明是這樣實現(xiàn)的一種擬正二測直觀圖模板及其構(gòu)圖方法和模板的使用，其特征在于所述的構(gòu)圖方法直觀圖的投影線與三坐標(biāo)軸X軸、y軸和Z軸的夾角依次為a、90°、90° -〃，設(shè)觀測點在赤道偏在赤道平面上方，則所述三坐標(biāo)軸的軸向伸縮比例依次為sinff、sin90°、sin(90。-σ )，當(dāng)sin σ為O. 2或O. 15時，三坐標(biāo)的軸向伸縮比例為
O.2:1:0. 98或O. 15:1:0. 99，選三坐標(biāo)的軸向伸縮比例為O. 2:1:1或者O. 15:1:1 ； 把帶有等分刻度線的三種不同大小的圓球內(nèi)接正方體上下表面正方形的外接圓、球內(nèi)接正四面體底面三角形的外接圓和赤道大圓，縱向伸縮變形為O. 2:1或O. 15:1的橢圓狀并分布在模板兩側(cè)，這些橢圓的“等分刻度線”便于水平圖形旋轉(zhuǎn)以獲得立體感；
所述的模板中心設(shè)有三個大小不同的圓，其中球輪廓為最大的一個圓，其輪廓圓上設(shè)有常用幾何體的關(guān)鍵位置線，在其右下方為球內(nèi)接正方體的內(nèi)切球輪廓圓，其左下方為球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球輪廓圓；模板上還設(shè)有三種橢圓，分別為球內(nèi)接正方體上下表面正方形的外接圓伸縮變形成的橢圓、球內(nèi)接正四面體底面三角形的外接圓伸縮變形成的橢圓和赤道大圓伸縮變形成的橢圓，伸縮比為O. 2:1或O. 15:1，這兩組不同伸縮比的橢圓分布在模板兩側(cè)。所述擬正二測直觀圖模板的使用用于作出圓柱及其相關(guān)多面體、圓錐及其相關(guān)多面體、球及其相關(guān)多面體和球、圓柱、圓錐及其相關(guān)多面體高度綜合時的直觀圖。從附圖I中的正二測畫法可以看出，它兼具“平行于_7飯平面的圖形(或截面)與直觀圖中的相應(yīng)部分為I: I顯示，以及球的任意方向輪廓都是圓”的目前人們一致認(rèn)可的優(yōu)點。但是,這樣的畫法也有一個很大的缺點直觀性不好。本發(fā)明通過改變正二測投影方向，保留它的優(yōu)點而改善它的不足，提出一種“擬正二測”直觀圖，其定義如下
設(shè)直觀圖的投影線與三坐標(biāo)軸(X軸、y軸、Z軸)的夾角依次為O·，90° ,90° -a。通俗地講，就是設(shè)觀測點偏在赤道平面上方。在這種情況下，三坐標(biāo)軸的軸向伸縮比例依次為sin a , sin90°， sin (90° -σ )，即 sin σ，1，cos σ。當(dāng)sin < O. 20時,cos σ彡O. 98。這說明，當(dāng)“赤道平面”形成的橢圓的短軸與長軸之比彡O. 20時，ζ軸的軸向伸縮比例非常接近于I。如果把三坐標(biāo)軸(X軸、y軸、Z軸)的軸向伸縮比例確定為O. 2 (或比O. 2小)I: I，就稱這時的直觀圖為“擬正二測”直觀圖，如附圖2、附圖3所示。本發(fā)明“擬正二測”直觀圖的優(yōu)點
1、“擬正二測”直觀圖保留了“正視圖1:1顯示”的優(yōu)點，并使得在同一張直觀圖中的多面體和旋轉(zhuǎn)體同時得到了完美的表達(dá)。2、z軸軸向伸縮比例非常接近于1，“北極點”可近似地畫在最上端，符合球的習(xí)慣畫法。雖然“擬正二測”直觀圖的作圖法有些限制，但它仍然有著廣泛的使用基礎(chǔ)人教A版，上海版等教材中的圓錐、圓柱的習(xí)慣畫法非常接近于“擬正二測”畫法。美中不足的是，他們的橢圓畫得太胖(離心率較小)，這與“北極點”在最上端相矛盾(橢圓畫得太胖即離心率較小時，Z軸的軸向伸縮比例較小，從而使“北極點”下移)。3、“擬正二測”直觀圖通過旋轉(zhuǎn)一個角度表現(xiàn)多面體的立體感?？梢?，擬正二測直觀圖已經(jīng)避免了現(xiàn)行斜二測直觀圖的先天不足。除了上述優(yōu)點外，本發(fā)明擬正二測直觀圖的構(gòu)圖方法還具備其它好處
I、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，數(shù)學(xué)，人教A版，必修2 (2007年2月第3版)，P17,第3行“在立體幾何中，常用正等測畫法畫水平放置的圓”。如果單單看水平放置的圓，上面描述似乎并無不妥。但是如果把問題轉(zhuǎn)化為“畫一個軸截面是正方形的圓柱”，采用正等測畫橢圓的方法(見附圖4)去畫，馬上會發(fā)現(xiàn)，在正等測畫法中，橢圓的水平方向長軸大約被放長了 I. 155倍，該圓柱的軸截面變成了長方形，如附圖5所示。
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但如果采用擬正二測畫法去畫軸截面是正方形的圓柱，或軸截面是正三角形的圓錐，那它的表達(dá)幾乎是完美的，見附圖6、附圖7。2、幾乎所有的教科書中都如附圖8般畫球。盡管ζ軸軸向伸縮比例較小，北極點應(yīng)該有較大數(shù)量的下移，但還是把北極點畫在最上面。采用正等測畫法也有相似的問題，如附圖9。如果采用擬正二測畫法去畫球，那它的北極點幾乎達(dá)到最上端，見附圖10。
圖I是采用各種常見畫法畫出的平行投影直觀圖的比較示意圖。圖2是本發(fā)明的擬正二測直觀圖的定義圖。圖3是本發(fā)明擬正二測直觀圖與正二測直觀圖的比較示意圖。圖4是采用正等測畫橢圓的方法示意圖。圖5是采用正等測畫法畫圓柱的方法示意圖。圖6是采用擬正二測畫法畫的軸截面是正方形的圓柱示意圖。圖7是采用擬正二測畫法畫的軸截面是正三角形的圓錐示意圖。圖8是目前教材中北極點的位置示意圖。圖9是正等測畫法畫的球上北極點的位置示意圖。圖10是擬正二測畫法畫的球上北極點的位置示意圖。圖11是本發(fā)明擬正二測直觀圖模板結(jié)構(gòu)示意圖。圖12是使用擬正二測直觀圖模板作球的內(nèi)接正多面體步驟一示意圖。圖13是使用擬正二測直觀圖模板作球的內(nèi)接正多面體步驟二示意圖。圖14是使用擬正二測直觀圖模板作球的內(nèi)接正多面體步驟三示意圖。圖15是旋轉(zhuǎn)前正三角形的水平圖形。圖16是正三角形的水平圖形作旋轉(zhuǎn)后的情形。圖17是旋轉(zhuǎn)前正方形的水平圖形。圖18是正方形的水平圖形作旋轉(zhuǎn)后的情形。圖19是旋轉(zhuǎn)前鈍角三角形的水平圖形。圖20是鈍角三角形的水平圖形作旋轉(zhuǎn)后的情形。
圖21是采用本發(fā)明模板作的球的內(nèi)接正方體直觀圖。圖22是采用本發(fā)明模板作的球的內(nèi)接正四面體直觀圖。圖23是采用本發(fā)明模板作的球的內(nèi)接正八面體的直觀圖。圖24是采用本發(fā)明模板作的球內(nèi)接圓柱直觀圖。圖25是采用本發(fā)明模板作的球內(nèi)接圓錐直觀圖。圖26是采用本發(fā)明模板作的正四面體直觀圖。圖27是采用本發(fā)明模板作的圓柱內(nèi)切球直觀圖。
圖28是采用本發(fā)明模板作的圓柱和內(nèi)接倒四棱錐直觀圖。圖29是采用本發(fā)明模板作的正方體和正四面體直觀圖。圖30是采用本發(fā)明模板作的皇冠螺帽直觀圖。圖31是采用本發(fā)明模板作的沒有經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的六角螺帽直觀圖。圖32是采用本發(fā)明模板作的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的六角螺帽直觀圖。圖33是采用本發(fā)明模板作的正方體的內(nèi)切球直觀圖。圖34是采用本發(fā)明模板作的正八面體直觀圖。圖35是采用本發(fā)明模板作的半球的最大內(nèi)接正四棱錐直觀圖。圖36是采用本發(fā)明模板作的正四棱錐直觀圖。
具體實施例方式本發(fā)明一種擬正二測直觀圖模板及其構(gòu)圖方法和模板的使用，其構(gòu)圖方法直觀圖的投影線與三坐標(biāo)軸X軸、y軸和Z軸的夾角依次為O·、90°、90° -σ，設(shè)觀測點在赤道偏在赤道平面上方，則所述三坐標(biāo)軸的軸向伸縮比例依次為sina、sin90°、sin(90° -σ)，當(dāng)sinff為O. 2或O. 15時，三坐標(biāo)的軸向伸縮比例為O. 2:1:0. 98或O. 15:1:0. 99，選三坐標(biāo)的軸向伸縮比例為O. 2:1:1或者O. 15:1:1。把帶有等分刻度線的三種不同大小的圓球內(nèi)接正方體上下表面正方形的外接圓、球內(nèi)接正四面體底面三角形的外接圓和赤道大圓，縱向伸縮變形為O. 2:1或O. 15:1的橢圓狀并分布在模板兩側(cè)，這些橢圓的“等分刻度線”便于水平圖形旋轉(zhuǎn)以獲得立體感。根據(jù)附圖11，模板中心設(shè)有三個大小不同的圓，其中球輪廓為最大的一個圓，其輪廓圓上設(shè)有常用幾何體的關(guān)鍵位置線，在其右下方為球內(nèi)接正方體的內(nèi)切球輪廓圓，其左下方為球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球輪廓圓。模板上還設(shè)有三種橢圓，分別為球內(nèi)接正方體上下表面正方形的外接圓伸縮變形成的橢圓、球內(nèi)接正四面體底面三角形的外接圓伸縮變形成的橢圓和赤道大圓伸縮變形成的橢圓，伸縮比為O. 2:1或O. 15:1，這兩組不同伸縮比的橢圓分布在模板兩側(cè)。將帶有等分刻度的圓縱向伸縮變形為橢圓狀后，橢圓上也帶有等分刻度，且橢圓短軸/長軸< O. 30 (本發(fā)明模板提供的兩種不同伸縮比使得ζ軸軸向伸縮比例彡O. 98 ^ I)。因此，當(dāng)三坐標(biāo)軸軸向伸縮比為O. 2:1:1時，北極點可畫在最上端。本發(fā)明擬正二測直觀圖模板用于作出圓柱及其相關(guān)多面體、圓錐及其相關(guān)多面體、球及其相關(guān)多面體和球、圓柱、圓錐及其相關(guān)多面體高度綜合時的直觀圖。根據(jù)附圖12 14，使用本發(fā)明擬正二測直觀圖模板作球的內(nèi)接正多面體的方法
1、使用模板畫出球輪廓及赤道大圓；
2、在赤道大圓內(nèi)畫出內(nèi)接正方形，并利用模板刻度作適當(dāng)旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)原理見附圖15 20 ；
3、分別 連接南極點、北極點和赤道大圓內(nèi)接正方形各個頂點，得到球與內(nèi)接正八面體的直觀圖。根據(jù)附圖21 23，分別表示使用本發(fā)明擬正二測直觀圖模板作出球的內(nèi)接正方體、球的內(nèi)接正四面體、球的內(nèi)接正八面體的直觀圖。根據(jù)附圖24 36，采用本發(fā)明擬正二測直觀圖的構(gòu)圖方法及擬正二測直觀圖模板可作出各種擬正二測直觀圖。
權(quán)利要求
1.一種擬正二測直觀圖模板的構(gòu)圖方法，其特征在于直觀圖的投影線與三坐標(biāo)軸X軸、y軸和z軸的夾角依次為〃、90°、90° -〃，設(shè)觀測點在赤道偏在赤道平面上方，則所述三坐標(biāo)軸的軸向伸縮比例依次為sinff、sin90°、sin(90。- σ )，當(dāng)sin σ為O. 2或O. 15時，選三坐標(biāo)的軸向伸縮比例為O. 2:1:1或者O. 15:1:1 ; 把帶有等分刻度線的三種不同大小的圓球內(nèi)接正方體上下表面正方形的外接圓、球內(nèi)接正四面體底面三角形的外接圓和赤道大圓，縱向伸縮變形為O. 2:1或O. 15:1的橢圓狀并分布在模板兩側(cè)，這些橢圓的“等分刻度線”便于水平圖形旋轉(zhuǎn)以獲得立體感； 模板中心設(shè)有三個大小不同的圓，其中最大的一個圓為球的輪廓圓，其輪廓圓上設(shè)有常用幾何體的關(guān)鍵位置線，在其右下方為球內(nèi)接正方體的內(nèi)切球輪廓圓，其左下方為球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球輪廓圓。
2.—種權(quán)利要求I所述構(gòu)圖方法的擬正二測直觀圖模板，其特征在于模板中心設(shè)有三個大小不同的圓，其中球輪廓為最大的一個圓，其輪廓圓上設(shè)有常用幾何體的關(guān)鍵位置線，在其右下方為球內(nèi)接正方體的內(nèi)切球輪廓圓，其左下方為球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球輪廓圓；模板上還設(shè)有三種橢圓，分別為球內(nèi)接正方體上下表面正方形的外接圓伸縮變形成的橢圓、球內(nèi)接正四面體底面三角形的外接圓伸縮變形成的橢圓和赤道大圓伸縮變形成的橢圓，伸縮比為O. 2:1或O. 15:1，這兩組不同伸縮比的橢圓分布在模板兩側(cè)。
3.—種權(quán)利要求2所述模板的使用，其特征在于用于作出圓柱及其相關(guān)多面體、圓錐及其相關(guān)多面體、球及其相關(guān)多面體和球、圓柱、圓錐及其相關(guān)多面體高度綜合時的直觀圖。
全文摘要
本發(fā)明為一種擬正二測直觀圖模板及其構(gòu)圖方法和模板的使用，其特征在于直觀圖的投影線與三坐標(biāo)軸x軸、y軸和z軸的夾角依次為α、90°、90°-α，當(dāng)sinα為0.2或0.15時，選三坐標(biāo)的軸向伸縮比例為0.2:1:1或0.15:1:1。模板中心設(shè)有一個球輪廓的大圓，大圓輪廓上設(shè)有常用幾何體的關(guān)鍵位置線，在其右下方設(shè)有球內(nèi)接正方體的內(nèi)切球輪廓圓，其左下方設(shè)有球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球輪廓圓；模板兩側(cè)還設(shè)有三種橢圓，分別為球內(nèi)接正方體上下表面正方形的外接圓伸縮變形成的橢圓、球內(nèi)接正四面體底面三角形的外接圓伸縮變形成的橢圓和赤道大圓伸縮變形成的橢圓。采用本發(fā)明方法和模板可以作出各種擬正二測直觀圖。
文檔編號B43L13/00GK102795030SQ20121030796
公開日2012年11月28日 申請日期2012年8月28日 優(yōu)先權(quán)日2012年8月28日
發(fā)明者唐文虎 申請人:唐文虎